Banca de DEFESA: RENAN JACKSON SOARES ISNERI

Uma banca de DEFESA de DOUTORADO foi cadastrada pelo programa.
DISCENTE: RENAN JACKSON SOARES ISNERI
DATA: 20/11/2023
HORA: 10:00
LOCAL: Auditório da UAMat-UFCG
TÍTULO: Soluções do tipo transição para algumas classes de equações elípticas quaselineares de Allen-Cahn
PALAVRAS-CHAVES: Soluções do tipo transição; Soluções heteroclínicas; Soluções do tipo sela; Equações quasilineares de Allen-Cahn; Equação de curvatura média prescrita; Espaços de Orlicz-Sobolev.
PÁGINAS: 259
GRANDE ÁREA: Ciências Exatas e da Terra
ÁREA: Matemática
SUBÁREA: Análise
ESPECIALIDADE: Equações Diferenciais Parciais
RESUMO: O objetivo desta tese é desenvolver e estudar a rica estrutura do conjunto de soluções do tipo transição de algumas classes de EDPs elípticas da forma $$ -\Delta_\Phi u+A(x,y)V'(u)=0\text{ em }\mathbb{R}^2,\eqno(PDE) $$ onde $\Delta_\Phi$ é um operador quaselinear na forma de divergência envolvendo a $N$-função $\Phi$ que não cresce mais rapidamente do que funções exponenciais, $A(x,y)$ é períodico em todos os seus argumentos e $V$ é um potencial de poço duplo com mínimos em $t=\pm\alpha$. Um importante protótipo de $V$ é dado por $$ V(t)=\Phi(|t^2-\alpha^2|), $$ que foi inspirado no clássico potencial de poço duplo de Ginzburg-Landau. Uma de nossas motivações para procurar tais soluções deriva de um modelo clássico de Allen-Cahn de transições de fase que pode ser visto como um caso muito especial de (PDE). Em nossas investigações, tais soluções são obtidas por abordagens variacionais usando métodos de minimização para procurar mínimos de um funcional ação em uma classe razoável de funções admissíveis contida no espaço usual de Orlicz-Sobolev $W^{1,\Phi}_{\text {loc}}(\mathbb{R}^2)$. Fornecemos diversas propriedades qualitativas e quantitativas para essas soluções e uma série de dificuldades tiveram que ser superadas em nossa abordagem. Por esta razão, foi necessário desenvolver novas estimativas usando por exemplo desigualdades do tipo Harnack encontradas em \cite{Trudinger}, $C^{1,\alpha}$ regularidade por Lieberman \cite{Lieberman} e um novo resultado de unicidade para uma classe de EDOs quaselineares do tipo $$ -\left(\phi(|q'|)q'\right)'+a(t)V'(q)=0\text{ em }\mathbb{R},\eqno{(ODE)} $$ onde $a(t)$ pertence a $L^\infty(\mathbb{R})$ e $\phi(t)=\Phi'(t)/t$ para $t>0$. Dentre as soluções do tipo transição, destacam-se neste trabalho as soluções heteroclínicas e do tipo sela. Além disso, nesta tese, é também de particular interesse estudar a existência de soluções heteroclínicas básicas para a equação unidimensional relativamente simples $(ODE)$, ou seja, determinar soluções que conectam naturalmente os pontos estacionários $\pm\alpha$ e que ficam entre $-\alpha$ e $\alpha$. O desenvolvimento de tais soluções para $(ODE)$ serve como suporte para a construção de soluções mais complexas de problemas espaciais de transição de fase. Em particular, serve para caracterizar o comportamento assintótico da solução do tipo sela para $(PDE)$. Por fim, discutiremos como variantes do que acabamos de descrever para $(PDE)$ se mantêm igualmente bem para a equação de curvatura média prescrita do tipo $$ -div\left(\frac{\nabla u}{\sqrt{1+|\nabla u|^2}}\right) + A(x,y)V'(u)=0\text{ em }\mathbb{R}^2. $$ Usando as técnicas de trucamento para o operador diferencial envolvido construímos equações auxiliares da forma $(PDE)$ para mostrar que tal equação também possui uma rica variedade de soluções do tipo transição sempre que a distância entre as raízes do potencial simétrico $V$ for pequena e $V$ é semelhante a $$ V(t)=(t^2-\alpha^2)^2. $$ Não menos importante, forneceremos condições suficientes para a existência de soluções heteroclínicas básicas para o seguinte modelo unidimensional $$ -\left(\frac{q'}{\sqrt{1+(q')^2}}\right)'+a(t)V'(q)=0~~\text{in}~~\mathbb{R}. $$ Além disso, resultados de unicidade também são explorados sob condições apropriadas em $a$ e $V$.
MEMBROS DA BANCA:
Presidente - 714.408.524-72 - CLAUDIANOR OLIVEIRA ALVES - UFCG
Interno - 039.375.414-62 - JEFFERSON ABRANTES DOS SANTOS - UFCG
Externo à Instituição - GELSON CONCEIÇÃO GONÇALVES DO SANTOS
Externo à Instituição - MARCELO FERNANDES FURTADO
Externo à Instituição - MARCOS LEANDRO MENDES CARVALHO
Externo à Instituição - GREY ERCOLE
Externo à Instituição - EDCARLOS DOMINGOS DA SILVA