Por mais de 2500 anos, muitos dos grandes matemáticos se interessaram na natureza e
nos mistérios do fascinante número π , mentes brilhantes como Arquimedes, Euler, Gauss, Abel, Jacobi, Weierstrass, entre outros. Neste trabalho estudaremos algumas das propriedades fundamentais que caracterizam o número π .
Iniciamos nossa monografia, provando que a razão entre o comprimento de uma circunferência arbitrária e seu diâmetro é constante. Para isto, usamos a completude dos números reais. Tal constante é precisamente o número π .
O Capítulo 2 é dedicado ao estudo da irracionalidade de π . Apresentamos três provas, a clássica, devida a Lambert, e duas provas mais modernas de Cartwright e Ivan Niven. Além de ser irracional, o número π é transcendente, isto é, não existe um polinômio não nulo com coeficientes
racionais que tenha π como raiz. Tal fato foi demonstrado inicialmente por Lindemann e como consequência, o problema clássico da quadratura do círculo não tem solução.
No capítulo 3 apresentamos, sem prova, um resultado mais geral, o celebrado Teorema de Lindemann-Weiertrass que tem como corolário, a transcendência de π .
Finalmente, no capítulo 4, a cronologia, curiosidades, aproximações e séries sobre π são estudadas.