Banca de QUALIFICAÇÃO: RANIERI DE FRANÇA FREIRE

Uma banca de QUALIFICAÇÃO de DOUTORADO foi cadastrada pelo programa.
DISCENTE: RANIERI DE FRANÇA FREIRE
DATA: 05/08/2022
HORA: 10:00
LOCAL: UFPB
TÍTULO: Segundo Exame de Qualificação
PALAVRAS-CHAVES:
RESUMO: Universidade Federal da Paraíba Centro de Ciências Exatas e da Natureza Programa de Pós-Graduação em Matemática PROPOSTA DE PROGRAMA PARA O SEGUNDO EXAME DE QUALIFICAÇÃO Aluno: Ranieri de França Freire Orientador: Everaldo Souto de Medeiros Data do Exame: 05 de agosto de 2022 PARTE A: ELEMENTOS DE ANÁLISE FUNCIONAL Teoremas de Hahn-Banach: Formas analíticas e geométricas; Teoremas de Banach Steinhaus, da aplicação aberta e do gráfico fechado; Espaços Reflexivos, separáveis, Espaços uniformemente convexos, topologia fraca; Teorema da Representação de Riesz, Lema de Lax-Milgram e aplicações; Operadores compactos e a alternativa de Fredholm; Teoria espectral de operadores limitados e Aplicações. PARTE B: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ELÍPTICAS LINEARES B - I - EQUAÇÃO DE LAPLACE Desigualdade da média; Princípio do máximo; Desigualdade de Harnack; Teorema de Liouville; Pontencial Newtoniano; Representação de Green; Problemas de Dirichlet. B - II - PRINCÍPIO DO MÁXIMO CLÁSSICO Princípio fraco; Princípio forte; Estimativas a priori, Lema de Hopf e aplicações. PARTE C – ESPAÇOS DE SOBOLEV C - I – DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES: Derivada fraca; Definição dos espaços de Sobolev; Resultados de aproximação por Funções Suaves; Teorema de extensão; Teorema do traço; Imersões de Sobolev; Formulação variacional, Espectro do operador laplaciano, caracterização dos autovalores. C - III - SOLUÇÕES CLÁSSICAS PARA PROBLEMAS ELÍPTICOS DE SEGUNDA ORDEM Regularidade elíptica; estimativas de Schauder; regularidade de soluções fracas via quocientes diferenciais e argumentos de bootstrap; Teorema de Kato; Teoria L^p; Calderon-Zygmund. PARTE D - TEORIA DO GRAU TOPOLÓGICO D - I - DIMENSÃO FINITA Definição e propriedades do grau topológico; Teorema do ponto fixo de Brauwer; Definição e propriedade do índice; Teorema de Borsuk e aplicações; Propriedade multiplicativa do grau e aplicação ao teorema de separação de Jordan. D - II - DIMENSÃO INFINITA Definição do grau de Leray-Schauder; Propriedades do grau Leray-Schauder; Definição e cálculo do índice por linearização; Teorema do ponto fixo de Schauder e Schaefer D - III - ALGUMAS APLICAÇÕES DE GRAU TOPOLÓGICO Aplicações a equações do tipo , com f limitada. PARTE E - TEORIA DE PONTOS CRÍTICOS E - I - RESULTADOS BÁSICOS Minimização (método direto do cálculo da variações) ; Lema da deformação; Princípio variacional de Ekeland. E - II - TEOREMAS VARIACIONAIS DO TIPO MINI-MAX Teorema do passo da montanha clássico; Teorema do ponto de sela; Aplicações às equações semilineares elípticas; PARTE F – TÓPICOS SUPLEMENTARES F - I - PROBLEMAS ELÍPTICOS COM CRESCIMENTO CRÍTICO EM DOMÍNIOS LIMITADOS [1] B. Brezis; L. Nirenberg, Positive solutions of nonlinear elliptic equations involving critical Sobolev exponents. Comm. Pure Appl. Math. 36 , 437-477, 1983. F - II - PROBLEMAS ELÍPTICOS COM PERDA DE COMPACIDADE EM R^n [2] P. H. Rabinowitz, Paul H. On a class of nonlinear Schrödinger equations. Z. Angew. Math. Phys. 43, 270–291, 1992. [3] D. G. Costa, On a class of elliptic systems in RN. Electron. J. Differential Equations 1994, No. 07, approx. 14 pp. [4] W. A. Strauss, Existence of solitary waves in higher dimensions. Comm. Math. Phys. 55 (1977), no. 2, 149–162. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] H. Brezis, Analyse Fonctionnelle Théorie e Aplications , Masson, 1987. [2] D. G. Costa, An invitation to variational methods in differential equations. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2007. xii+138 pp. [3] K. Deimling, Nonlinear Functional Analysis, Springer-Verlag, 1980. [4] D. G. de Figueiredo, Lectures on the Ekeland Variational Principle With Applications and Detours, Springer-Verlag, 1987. [5] P. H Rabinowitz, Mini-max Methods in Critical Point Theory with Applications to Differential Equations, American Mathematical Society, n0 65, 1984. [6] D. Gilbarg and N. S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer-Verlag, 1983. [7] O. Kavian, Introduction a la théorie des points critiques et applications aux problèmes elliptiques, Springer, Heidelberg, 1993. [8] M. Struw, Variational methods. Applications to nonlinear partial differential equations and Hamiltonian systems. Second edition. https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/series.html?id=1529 Springer-Verlag, Berlin, 1996. xvi+272 pp. [9] M. Willem, Mini-max Theorems, Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications, Birkchauser, 1996.
MEMBROS DA BANCA:
Presidente - 1279086 - EVERALDO SOUTO DE MEDEIROS
Interno - 7335874 - JOAO MARCOS BEZERRA DO O
Interno - 3279692 - UBERLANDIO BATISTA SEVERO
Externo à Instituição - EMERSON ALVES MENDONÇA DE ABREU
Externo à Instituição - JOSE FRANCISCO ALVES DE OLIVEIRA