Banca de DEFESA: RAPHAEL REICHMANN ROLIM

Uma banca de DEFESA de MESTRADO foi cadastrada pelo programa.
DISCENTE: RAPHAEL REICHMANN ROLIM
DATA: 18/08/2023
HORA: 14:00
LOCAL: Depto de Matemática
TÍTULO: Fundamentos da aritmética formal
PALAVRAS-CHAVES: Teoria dos N ́umeros. Axiomas de Peano. Formalismo de Hilbert. An ́alise Harmˆonica abstrata. N ́umeros primos.
PÁGINAS: 137
GRANDE ÁREA: Ciências Exatas e da Terra
ÁREA: Matemática
SUBÁREA: Álgebra
ESPECIALIDADE: Teoria dos Números
RESUMO: Neste trabalho propus a uni ̃ao da axiom ́atica de Peano `a axiom ́atica dos espa ̧cos vetoriais, atrav ́es do conceito de base ordenada, culminando na defini ̧c ̃ao de espa ̧co aritm ́etico. Esta uni ̃ao permitiu uma sistematiza ̧c ̃ao universal dos procedimentos mais comuns do estudo da teoria dos n ́umeros atrav ́es de fun ̧c ̃oes geradoras, desenvolvendo uma linguagem com- preensiva e coesa. Defini a no ̧c ̃ao de aritm ́etica, fun ̧c ̃ao sucessora e gerador, opera ̧c ̃oes aritm ́eticas iterativas e endom ́orficas, e de mon ́oides de opera ̧c ̃oes e seus homomorfismos. Defini tamb ́em a no ̧c ̃ao autossimilar de meta-aritm ́etica. Desenvolvi o conceito de ́algebra de opera ̧c ̃oes aritm ́eticas, transportando completamente a teoria das opera ̧c ̃oes aritm ́eticas para dentro da teoria das transforma ̧c ̃oes lineares. Mostrei como as ́algebras definidas po- dem ser compreendidas de diversas maneiras j ́a bem estabelecidas da Algebra, e a rela ̧c ̃ao ́ destas estruturas com ́algebras convolutivas. Estudei seus homomorfismos quando s ̃ao ́algebras de Banach e, em particular, o problema da invers ̃ao aritm ́etica nestas ́algebra. Provei a decomposi ̧c ̃ao do grupo de seus elementos invert ́ıveis em fatores elementares, teorema consideravelmente mais ́util que o Teorema Fundamental da Algebra. Estudei ́ combinatorialmente algumas rela ̧c ̃oes, em especial a constru ̧c ̃ao das multiplica ̧c ̃oes pri- mas pelas naturais, a Lei das Fatora ̧c ̃oes Naturais e algumas f ́ormulas primitivas. Criei a no ̧c ̃ao de ́algebra simetrizada de opera ̧c ̃oes e a teoria vaga dos correspondentes simetriza- dos. Descrevi como a ́algebra das opera ̧c ̃oes aditivas circulares faz nascer, da maneira mais natural, o conceito da Transformada de Fourier Discreta, no ̧c ̃ao fundamental da disciplina de processamento de sinais. Obtive representa ̧c ̃oes de fun ̧c ̃oes aritmeticamente not ́aveis, como a fun ̧c ̃ao de Mertens de maneira abstrata, sem recorrer `a fun ̧c ̃ao Zeta, por meio da an ́alise harmˆonica aplicada aos grupos de opera ̧c ̃oes invert ́ıveis. Por fim, mostrei um argumento heur ́ıstico para a obten ̧c ̃ao de uma assint ́otica intimamente ligada `a hip ́otese de Riemann, utilizando res ́ıduos complexos da teoria cl ́assica.
MEMBROS DA BANCA:
Presidente - 2285557 - DANIEL MARINHO PELLEGRINO
Interno - 3048147 - WALLACE MANGUEIRA DE SOUSA
Externo à Instituição - JEAN CARLOS DE AGUIAR LELIS